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重庆市重庆一中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

发布时间:

2019 年重庆一中高 2021 级高一下期期中考试 数学测试试题卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合

A

? ??2, ?1,0,1, 2?,集合

B

?

??x ?

1 x

? 1?? ?

,则

A?B

?(



A. ??2, ?1,0, 2?

B. ?2?

C. ??2, ?1, 2?

【答案】C 【解析】 【分析】 根据分式不等式的解法得到集合 B,再由集合的交集运算得到结果.

? ? 【详解】集合

A

?

??2,

?1,

0,1,

2?

,集合

B

?

? ?

x

?

1 x

? 1??= ?

x| x

0或x

1



根据集合的交集运算得到 A? B ? ??2, ?1, 2?.

故答案为:C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.

D. ??2,?1?

? ? 2.在等差数列 an 中, a1 ? a2 ? a3 ? 9 ,则 a2 ? ( )

A. 3

B. 9

C. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

D. 4

根据等差数列的性质得到 a1 ? a2 ? a3 ? 9 ? 3a2 ? a2 ? 3.

? ? 【 详 解 】 等 差 数 列 an 中 , a1 ? a2 ? a3 ?9 , 根 据 等 差 数 列 的 运 算 性 质 得 到

a1 ? a2 ? a3 ? 9 ? 3a2 ? a2 ? 3.
故答案为:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用,属于基础题.

3.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( )

A. 1 ? 1 ab
C. ?ab ? ?a2

B. ab ? b2 D. Pm ? UIm ? 2W

【答案】D

【解析】

分析:利用作差法比较实数大小即得解.
详解: ? 1 -( ? 1 )= a ? b ,因为 a ? b ? 0,所以 a ? b 0, ab 0. a b ab
所以 ? 1 ? ? 1 .故答案为:D. ab
点睛:(1)本题主要考查实数大小的比较,意在考查学生对该知识的掌握水*.(2)比较实数

的大小,常用作差法和作商法,一般如果知道实数是正数,可以利用作商法,否则常用作差

法.

4.在等比数列?an?中,已知 a2 ? 1, a1 ? a7 ? 16 ,则该数列的公比 q ? ( )

A. ?2

B. ?4

C. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

D. 4

根据等比数列的性质得到 a1 ? a7 ? 16 ? a42 , 进而解得 a4 ? ?4 ,由等比数列的通项公式得到结
果.

? ? 【详解】等比数列 an 中,已知 a2 ? 1, a1 ? a7 ? 16 ? a42 ? a4 ? ?4

a4 ? a2q2 ? a2 ? ?2.
故答案为:A. 【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用,属于基础题.

5.下列命题正确的是( ) A. 有两个面*行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 B. 有两个面*行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相*行的几何体 叫棱柱。

C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。 D. 用一个面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 【答案】B 【解析】 【分析】 根据课本中的相关概念依次判断选项即可. 【详解】对于 A 选项,几何体可以是棱台,满足有两个面*行,其余各面都是四边形,故选 项不正确;对于 B,根据课本中棱柱的概念得到是正确的;对于 C,当绕直角三角形的斜边旋 转时构成的几何体不是圆锥,故不正确;对于 D,用*行于底面的*面截圆锥得到的剩余的几 何体是棱台,故不正确. 故答案为:B. 【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念,属于基础题.

6.数列{an}的通项公式为 an

?

sin

n? 2

, n ? N ? ,其前 n

项和为

Sn

,则

S2019

?





A. 1010

B. 1

C. 0

D. ?1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据数列通项依次列举出数列的项,进而发现,每 4 项之和为 0,从而求解.

【详解】数列 {an } 的通项公式为

an

?

sin

n? , n ? 2

N ? , a1

? 1, a2

?

0, a3

?

?1, a4

?

0

, S4

?

0

a5 ? 1, a6 ? 0,.... 可知每四项之和为 0,故得到 S2019 ? S3 ? 0

故答案为:C.

【点睛】这个题目考查了数列求和的应用,常见的数列求和的方法有:列项求和,倒序相加

求和,错位相减求和,以及列举数列的项,找规律求和.

? ? 7.已知数列 an 满足: a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 2n?1(n ? 2, n ? N ) ,则 an ? ( )

A. an ? n ? 2n

B. an ? n ? 2n?1

C. an ? (2n ?1) ? 2n

D. an ? (2n ?1) ? 2n?1

【答案】B

【解析】

【分析】

将原式子变形为 an 2n

?

an?1 2n?1

?1? 2

an 2n

?

an?1 2n?1

?

1 , 结合等差数列的通项公式的求法得到结果. 2

? ? 【详解】数列 an 满足: a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 2n?1(n ? 2, n ? N ) ,

? an ? an?1 ? 1 ? an ? an?1 ? 1 , 2n 2n?1 2 2n 2n?1 2

?

? ? ?

an 2n

? ? ?

是以

a1 2

为首相

1 2

为公差的等差数列,

? an 2n

?

1 ? ?n ?1? 1

2

2

?

n 2

? an

? n ? 2n?1

故答案 :B.

【点睛】本题考查了数列通项公式的求法,以及等差数列的通项的求法,求数列通项,常见

的方法有:构造新数列,列举找规律法,根据等差等比公式求解等.

为 8.已知单位向量e1,e2 满足 e1 ? e2 ?1,则e1 与e2 的夹角为( )

A. ? 3

B. 2? 3

C. ? 6

【答案】B

【解析】

【分析】

将原式*方,再由向量点积的计算公式得到结果.

D. 5? 6

【 详 解 】 单 位 向 量 e1, e2 满 足 e1 ? e2 ? 1 , 两 边 * 方 得 到

2?

2e1

? e2

?1?

cos?

?

?

1 ?? 2

?

2? 3

.

故答案为:B.

【点睛】本题考查了向量点积 公式的应用,以及向量夹角的定义,属于基础题.

9.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百 里”.其大意:现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续走了 7 天,共走了 700 里,则这匹马第 7 天所走的路程等于( )

A. 700 里 127
【答案】A

B. 350 里 63

C. 280 里 51

D. 350 里 127

【解析】

【分析】

根据题意得到马每天所走的路程是

a1,

a2

,.....a7

,是公比为

1 2

的等比数列,这些项的和为

700,

由等比数列的求和公式求得首项,再由等比数列的通项公式得到结果.

【详解】设马每天所走的路程是

a1, a2 ,.....a7

,是公比为

1 2

的等比数列,这些项的和为

700,

S7

?

a1

???1

?

(

1 2

)7

1? 1

? ??

?

700

?

a1

?

64? 700 127

2

a7

?

a1q6

?

700 127

故答案为:A.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式,是基础的计算题,对于等比等差数列的 小题,常用

到的方法,其一是化为基本量即首项和公比或者公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利

用数列的基本性质.

10.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值,且

a5 a6

?

?1 ,则满足 Sn

> 0 的最大正整数 n



值为( )

A. 6

B. 7

C. 10

D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】

先设等差数列{an} 的公差为 d

,根据前 n

项和 Sn 有最大值,得到 d

? 0 ,再由

a5 a6

?

?1 ,得

到 a5 ? 0 , a6 ? 0 ,且 a5 ? a6 ? 0 ,根据等差数列的求和公式以及性质,即可得出结果.

【详解】设等差数列{an}的公差为 d ,

因为等差数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值,所以 d ? 0 ,



a5 a6

?

?1 ,所以 a5

?

0 , a6

?

0 ,且 a5

? a6

?

0,

所以

S10

?

10(a1 ? 2

a10 )

?

5(a1

?

a10 )

?

5(a5

?

a6 )

?

0



S11

?

11(a1 ? 2

a11 )

? 11a6

?

0



所以满足 Sn > 0 的最大正整数 n 的值为 10

【点睛】本题主要考查使等差数列前 n 项和最大的整数,熟记等差数列求和公式以及等差数列

的性质即可,属于常考题型.

11.三角形 ABC 中, AB ? 2, AC ? 2 2 , ?BAC ? 45? , P 为线段 AC 上任意一点,则 uur uuur PBgPC 的取值范围是( )

A.

????

1 4

,1???

B.

????

1 2

,

4???

C.

????

1 4

,

0???

D.

????

1 2

,

2???

【答案】B

【解析】

【分析】

? ? uur uuur

uuur uuur uuur

根据向量的线性表示得到 PBgPC ? ?1? ? ? AB ? ? AC AC ,由向量点积公式得到原式等

? ? 于: 4 2?2 ? 3? ?1 , 0 ? ? ?1根据二次函数的性质得到结果.

【详解】设 AP ? ? AC, PC ? ?1? ?? AC , 0 ? ? ?1,

? ? ? ? uur uuur uuur uuur

uuur

uuur uuur uuur

PBgPC ? AB ? AP ?1? ? ? AC ? ?1? ? ? AB ? ? AC AC

? ? 结合题目中 条件得到原式等于: 4?1? ???1? 2?? ? 4 2?2 ? 3? ?1 , 0 ? ? ?1

结合二次函数的性质得到范围是:

????

1 2

,

4???

.

故答案为:B.

【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,

运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向

量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不 等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用:①载体作用:关键是 利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用 向量可解决一些垂直、*行、夹角与距离问题.

12.点 C 是线段 AB 上任意一点, P 是直线 AB 外一点, PC ? ? PA ? ? PB ,不等式

m ???2 (? ? 3) ? ?2 (? ?1)?? ? (? ?1)(? ? 3)(1? m?3n) 对满足条件的 ?, ? 及 ?n ?N 恒成立,
则实数 m 的取值范围( )

A.

? ??

2 7

,

??

? ??

B.

? ??

1 2

,

??

? ??

C.

? ??

4 5

,

??

? ??

D.

? ??

5 6

,

??

? ??

【答案】D

【解析】

【分析】

根 据 结 论 得 到 ? ? ? ? 1, ? ? 1? ?, 代 入 不 等 式 并 且 化 简 得 到 :

3n

?

1 m

?

f

?

?

?

,

3n min

?

1 m

?

f

???

?1 ?( 1 m

?

f

?

?

?) max

f

???

?

3?2 ? ? ?1 ??2 ? 3? ? 4

,对其求导

得到单调性和最值,进而得到结果.

【详解】根据向量中的共线定理得到 ? ? ? ? 1, ? ? 1? ?, ? ??0,1? ,根据等式两边均为正,

得到 (? ?1)(? ? 3) ? 0 ,

代入不等式并且化简得到:

(

3?2 ? ? ?1 ??2 ? 3? ? 4

)m

?1?

m ? 3n ,

f

???

?

3? 2 ? ? ?1 ??2 ? 3? ? 4

? ? 对这个函数求导得到:

f

'

??

?

?

?4? ?1??2? ? 7?
?? 2 ? 3? ? 4 2

, ???0,

1 4

? ??

, ???

1 4

,1???

原问题对于 n 是恒成立问题,对于 ?, ? 是有解问题,故原不等式等价于

3n

?

1 m

?

f

?

?

?

,

3n min

?

1 m

?

f

???

?1 ?( 1 m

?

f

?

?

?) max



函数

f

?? ?max

?

f

? ??

1 4

? ??

?

1 5

代入得到 m ? 5 6

故答案为:D.

【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题,涉及多个变量的问题;一般恒成立或有解求参,

首选变量分离,对于多个变量的问题一般是先看成其中一个变量的函数,再看成另一个变量

的函数.

二、填空题.
13.已知 a ? (1, 2), b ? ( x, 4) , x ? R , a 与 b 共线,则 x ? _____. 【答案】 2
【解析】 【分析】 已知向量的坐标,根据向量共线得到表达式,进而求解.
【详解】 a ? (1, 2),b ? (x, 4) , x ? R , a 与 b 共线,则 4 ? 2x ? x ? 2.
故答案为:2. 【点睛】这个题目考查了向量共线的坐标表示,属于基础题.

14.VABC 内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 c ? 2, b ? 6, B ? 120 ,则角 C 等于

_____.

的 【答案】? 6 【解析】

【分析】

根据三角形正弦定理得到结果.

【详解】根据三角形中的正弦定理得到 b ? c ? sin C ? 1

sin B sin C

2

C ??0,600 ??C ? ? . 6

故答案为: ? . 6

【点睛】本题考查了三角形的正弦定理的应用,属于基础题.

15.已知

b 2

是 4a 与 4

的等差中项,则 1 16a

?

2b

的最小值为____.

【答案】 8

【解析】

【分析】

根 据 等 差 数 列 的 性 质 得 到 b ? 4a ? 4 , 原 式 可 化 为

1 16a

? 2b

?

1 16a

? 16a?1

?

2

1 16a

?16a?1

?

8. 进而得到结果.

【详解】 b 是 4a 与 4 的等差中项,故得到 2? b ? 4a ? 4 ? b ? 4a ? 4

2

2

1 16a

? 2b

?

1 16a

? 16a?1

?

2

1 16a

?16a?1

?

8.

等号成立的条件是 1 ? 16a?1 ? a ? ? 1 .

16a

2

故答案为:8.

【点睛】本题考查了二元化一元的思想,以及均值不等式的应用,在利用基本不等式求最值

时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为

正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否

则会出现错误.

16.已知数列{an}前 n 项和为 Sn ,且有 (a1 ? a2 ? ... ? an )an ? (a1 ? a2 ? ... ? an?1)an?1



n

?

2, n ? N

), a1

?

a2

?

?

1

,则数列

? ?

(log

2

1 Sn ?1 )(log 2

?

Sn?2

)

? ?

的前

n

项和 Tn

?

_______.

【答案】 Tn

?1?

1 n ?1

?

n n ?1

【解析】

【分析】

? ? ? ? 原式可以转化为 Sn Sn ? Sn?1 ? Sn?1 Sn?1 ? Sn 化简得到?Sn? 是等比数列公比为 2,进而得到

log2

1 Sn?1 log2

Sn?2

?

1
n ?n ?1?

?

1 n

?

1 n ?1 之后裂项求和即可.

【 详 解 】 因 为 (a1 ? a2 ? ... ? an )an ? (a1 ? a2 ? ... ? an?1)an?1 , 故 得 到

? ? ? ? Sn Sn ? Sn?1 ? Sn?1 Sn?1 ? Sn

化简得到 Sn2 ? Sn?1Sn?1 ,根据等比数列的性质得到?Sn? 是等比数列, S1 ? 1, S2 ? 2, ,故得到

? ? 公比为 2, Sn

? 2n?1, Sn?1

1 ? 2n , log2 Sn?1 log2 Sn?2

?

n

1 n ?1

?

1 n

?

1 n ?1



故由裂项求和的方法得到前 n

项和 Tn

?

1?

1 n ?1

?

n n ?1

故答案为: Tn

?1?

1 n ?1

?

n n ?1

.

【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中

有常见的已知 Sn 和 an 的关系,求 an 表达式,一般是写出 Sn?1 做差得通项,但是这种方法需
要检验 n=1 时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知不等式 2x ?1 ? 2 的解集与关于 x 的不等式 ?x2 ? px ? q ? 0 的解集相同。

(1)求实数 p, q 值;

(2)若实数 a, b ? R? ,满足 a+b = p+ 4q ,求 1 ? 4 的最小值. ab

【答案】(1) p ? ?1, q ? 3 (2) 9

4

2

【解析】

【分析】

(1)先得到绝对值不等式的解集,根据两者解集相同,由韦达定理得到结果;(2)原式子等价

于 1 ? 4 ? 1 ( 1 ? 4)(a ? b) ? 1 (5 ? b ? 4a ) 根据均值不等式求解即可.

a b 2a b

2 ab

【详解】(1) 2x ?1 ? 2 ,解得 ? 1 ? x ? 3 ,又 ?x2 ? px ? q ? 0 ? x2 ? px ? q ? 0 解集为:

2

2

?? p ?1

?1 2

?

x

?

3 2

,故

?

1 2



3 2

是方程的两根,根据韦达定理得到:

? ????q

?

?

3 4

?

p

?

?1, q

?

3 4



(2) a ? b ? 2 ,则 1 ? 4 ? 1 ( 1 ? 4)(a ? b) ? 1 (5 ? b ? 4a ) ? 9 ,

a b 2a b

2 ab 2

当 b ? 4a ,即 b ? 2a 时取等号,即 a ? 2 ,b ? 4 时有最小值 9 。

ab

33

2

【点睛】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质,在利用基本不等式求最值时,要特别

注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、

“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出

现错误.

18.已知数列?an?是等比数列,数列?bn?是等差数列,且满足: a1 ? b1 ? 1,b2 ? b3 ? 4a2 ,

a3 ? 3b2 ? ?5 .

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ? ? (2)设 cn ? an ? bn ,求数列 cn 的前 n 项和 Sn .

【答案】(1) an ? 2n?1, n ? N? ; bn ? 2n ?1, n ? N? (2) Sn ? 2n ? n2 ?1
【解析】 【分析】

??4q ? 3d ? ?2,

(1)根据等差数列和等比数列的通项公式得到

? ?

q2

? 3d

?

?2,

? d ? q ? 2 ,根据通项公式

的求法得到结果;(2) cn ? an ? bn ? 2n?1 ? 2n ?1 分组求和即可.

【详解】(1)设?an?的公比为 q,?bn?的公差为 d,由题意 q ? 0 ,

?(1? d) ? (1? 2d) ? 4q, ??4q ? 3d ? ?2,

由已知,有 ? ?

q2 ? 3(1? d) ? ?5,



? ?

q2

? 3d

?

?2,

? q2 ? 4q ? 4 ? 0 ? d ? q ? 2

? ? ? ? 所以 an 的通项公式为 an ? 2n?1, n ? N? , bn 的通项公式为 bn ? 2n ?1, n ? N? .

(2) cn ? an ? bn ? 2n?1 ? 2n ?1 ,分组求和,分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公

式得到:

Sn

?

1? 2n 1? 2

?

n(1 ?

2n ?1) 2

?

2n

?

n2

?1.

【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中

有常见的已知 Sn 和 an 的关系,求 an 表达式,一般是写出 Sn?1 做差得通项,但是这种方法需
要检验 n=1 时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。

19.如图,已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?BAD ?120? ,动点 M , N 满足 BM ? ? BC, DN ? ? DC , ?, ? ? 0 .

(1)当 ? ? ? ? 1 时,求| AM ? AN | 的值; 2

(2)若

AM

? AN

?

?2 ,求

1 ?

?

1 ?

的值.

【答案】(1) 3 (2) 1 2
【解析】

分析】

(1) ? ? ? ? 1 时, M , N 分别为 BC,CD 的中点,可得 AM ? AN ? 3 ,根据模长的计

【2 算公式得到结果;(2)根据*面向量基本定理得到 AM ? AN ? ( AB ? BM ) ? ( AD ? DN ) 按照 向量点积公式展开得到结果. 【详解】(1)当 ? ? ? ? 1 时, M , N 分别为 BC,CD 的中点, 2 此时易得 AM ? AN ? 3 且 AM , AN 的夹角为 60 ,则 AM ? AN ? ( AM ? AN )2 ? 3 ? 2? 3 ? 3 cos 60? ? 3 ? 3 ;
(2) AM ? AN ? ( AB ? BM ) ? (AD ? DN ) ? AB ? AD ? AB ? DN ? BM ? AD ? BM ? DN ? ?2 ? 2? 2? (? 1) ? 2? 2? ? 2? 2? ? 2? ? 2? ? (? 1)

2

2

? 4(? ? ?) ? 2?? ? 2(? ? ?) ? ?? ,故 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 . ? ? ?? 2

【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提, 运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向

量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不 等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用:①载体作用:关键是 利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用 向量可解决一些垂直、*行、夹角与距离问题.

20.设向量 m ? ?a,b? , n ? ?b ? 2, a ? 2? ,在 ?ABC 中 a,b, c 分别为角 A,B,C 的对边,且

2csin C ? (2b ? a)sin B ? (2a ? b)sin A . (1)求角 C ; (2)若 m ? n ,边长 c ? 2 ,求 ?ABC 的周长 l 和面积 S 的值. 【答案】(1) C ? ? (2)周长为 6,面积 3
3
【解析】 【分析】
(1)根据正弦定理得到 c2 ? b2 ? a2 ? ab ,再根据余弦定理得到结果;(2)根据向量点积的坐 标运算得到 a ? b ? ab ,结合余弦定理得到 a ? b ? 4 ,进而求得面积. 【详解】(1)由已知可得: 2c2 ? (2b ? a)b ? (2a ? b)a ,即 c2 ? b2 ? a2 ? ab ,

?cos C ? b2 ? a2 ? c2 ? 1 ,?C ? ?

2ab

2

3

(2)由题意可知 m ? n ,即a?b ? 2? ? b?a ? 2? ? 0 ?a ? b ? ab

由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab ,则 (a ? b)2 ? 3(a ? b) ? 4 ? 0 即

a ? b ? 4 ,故周长为 4 ? 2 ? 6 ,面积?S ? 1 ab sin C ? 1 ? 4?sin ? ? 3

2

2

3

【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程

是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,

最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,

尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.

21.已知数列?an?满足: anan?1 ? 2an ? an?1 ? 0 (n ? 2, n ? N ) , a1 ? 1,数列?bn?满足:

bn

?

nan 1? an

( n? N *)。

?1 ?

(1)证明:数列

? ?

an

? 1? 是等比数列; ?

(2)求数列?bn?的前 n 项和 Sn ,并比较 Sn 与 2 的大小.

【答案】(1)见证明;(2)见解析

【解析】

【分析】

1
(1)将原式变形为
an

1 ?1 ? 2(
an?1

?1) ,进而得到结果;(2)根据第一问得到 bn

n ? 2n

,错位相

减得到结果.

【详解】(1)由条件得 anan?1 ? 2an ? an?1 ? 0 ? an?1 ? 2an ? anan?1 ,易知 an ? 0 ,两边同除

1 以 anan?1 得 an

1 ? 2?
an?1

?1 ?

1 an

?1 ? 2( 1 an?1

?1) ,又 1 a1

?1? 2 ,

故数列

? ? ?

1 an

? ?1?是等比数列,其公比为 2 。
?

1
(2)由(1)知
an

?1 ? 2n ? 1? an an

? 2n

? an 1? an

?

1 2n

(n

?

N

?)

?

bn

?

n 2n

,则

Sn

?

1 2

?

2?

1 22

? 3?

1 23

?

? n? 1 ……① 2n

1

1

1

2 Sn ? 1? 22 ? 2? 23 ?

? (n

? 1) ?

1 2n

?

n 2n?1

……②

两式相减得 1 S = 2n

1+ 1 + 1 +L + 1 -

2 22 23

2n

n 2n+ 1

? Sn

?1? 1 ? 2

1 22

?

?

1 2n?1

?

n 2n

即 Sn

?

1

?

1 2n

1? 1

?

1 2n

?

2

?

2 2n

?

n 2n

? 2?

n?2 2n

? 2。

2

【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中

有常见的已知 Sn 和 an 的关系,求 an 表达式,一般是写出 Sn?1 做差得通项,但是这种方法需
要检验 n=1 时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。

22.已知函数

f

(x)

?

x?b x2 ? a

为奇函数,且

f

(2)

?

1 2



(1)求实数 a 与 b 的值;

(2)若函数 g(x) ? 1?

f x

(
2

x

2

)

,数列

{an

}

为正项数列,a1

?

f (1) ,且当 n ? 2 ,n? N *时, 2

? ? ??g(an ) ? g(an?1) ? f (an2 ) f (an?12 ) f 2 (an ) ? f 2 (an?1) ? f 2 (an ) f 2 (an?1) ?? an4 ? 4 ,设

? ? bn

?

(an?1

an ?1)(an

?1)

(n?N

* ),记数列 {an } 和

bn

的前 n 项和分别为 An , Bn ,且对

?n ? N *有 An ? (?1)n (? ? 7Bn ) 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 【答案】(1) a ? 0 ; b ? 0 (2) 8 ? ? ? 12
3
【解析】
【分析】

(1)根据函数奇偶性得到 b ? 0 ,再由 f (2) ? 1 ,得 a ? 0 ;(2) g(x) ? x2 ?1 ,将原式化

2

x4

2







? ? ?

an an?1

? ? ?

? 4 (n ?

2 ), 进 而 得 到 an

? 2n

, 数 列 {an} 的 前 n

项和

An

? 2n?1 ? 2



bn

?

1? 2n ?1

1 2n?1

?1

,原恒成立问题转化为

2n?1

?1?

7 2n?1 ?1 ? 8

?

??

对 ?n? N

* 恒成立,

对 n 分奇偶得到最值即可.

【详解】(1)因为

f

(x)

为奇函数,

?x ?b x2 ? a

?

?

x?b x2 ? a



得 b ? 0 ,又 f (2) ? 1 ,得 a ? 0 。 2

(2)由(1)知

f

(x)

?

1 x

,得

g(x)

?

x2 ?1 x4

,又

? ? ??g(an ) ? g(an?1) ? f (an2 ) f (an?12 ) f 2 (an ) ? f 2 (an?1) ? f 2 (an ) f 2 (an?1) ?? an4 ? 4 ,

化简得到:

? ? ?

an an?1

?2 ? ?

? 4(n ? 2) ,又 an

? 0 ,所以 an an?1

? 2(n ? 2) ,又 a1

?

f (1) ? 2, 2

故 an

?

2n

,则数列{an}的前 n

项和

An

?

2(1? 2n ) 1? 2

?

2n?1

?2



? ? 又 bn

?

(2n?1

2n ?1)(2n

?1)

?

1 2n ?1

?

1 ,则数列 2n?1 ?1

bn

的前 n 项和为

Bn

?1?

1 22 ?1

?

1 22 ?1

?

1 23 ?1

?

?

1 2n ?1

?

1 2n?1

?

1

?

1

?

1 2n?1

?1



An ? (?1)n (? ? 7Bn ) 对 ?n ? N *恒成立 ? An ? (?1)n ? 7Bn ? (?1)n ? 对 ?n ? N *恒成立

?

2n?1

?

2

?

(?1)n

(7

?

7 2n?1

) ?1

?

(?1)n

?



?n

?

N

*恒成立,令 t

?

2n?1

? 1 ,则



n

为奇数时,原不等式

?

2n?1

?1?

7 2n?1 ?1

?

8

?

??



?n

?

N

*

恒成立

? ?

t

?

7 t

?

8

?

??



?n

?

N

*

恒成立,又函数

y

?

t

?

7 t



??

7, ??

上单增,故

有 3 ? 7 ? 8 ? ?? ? ? ? 8 ;

3

3



n

为偶数时,原不等式

?

2n?1

?1

?

7 2n?1

?1

?

6

?

?



?n

?

N

*

恒成立

? t ? 7 ? 6 ? ? 对 ?n? N *恒成立,又函数 y ? t ? 7 在 ?0, ?? ? 上单增,故

t

t

有 7 ?1? 6 ? ? ? ? ?12。

综上得 8 ? ? ? 12。 3
【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性的应用以及数列通项公式的求法,数列前 n 项和的求

法,还涉及不等式恒成立的问题,属于综合性较强的题目,数列中最值的求解方法如下:1.邻

? ? ? ? 项比较法,求数列

an

的最大值,可通过解不等式组{an ? an?1 an ? an?1

n ? 2, n ? Z 求得 n 的取值

? ? ? ? 范围;求数列

an

的最小值,可通过解不等式组{an ? an?1 an ? an?1

n ? 2, n ? Z 求得 n 的取值范围;

2.数形结合,数列是一特殊的函数,分析通项公式 an 对应函数 y ? f ? x? 的特点,借助函数

y ? f ? x? 的图像即可求解;3.单调性法,数列作为特殊的函数,可通过函数的单调性研究数

列的单调性,必须注意的是数列对应的是孤立的点,这与连续函数的单调性有所不同;也可

? ? 以通过 an?1 ? an 差值的正负确定数列 an 的单调性.



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