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高等数学A(一)复*资料及PPT_图文

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高等数学 A ( 一) 总复*(2) 1 五、 函数有界、极限、连续与可导的关系 极限为 ? ? ? 极限不存在? 数列收敛 数列发散 无穷大量 数列有界 数列无界 无界变量 收敛数列(函数)的性质 (唯一性 , 有界性 , 保号性) 2 函数在 x0 处有定义 函数在 x0 处极限存在 函数在 x0 处连续 函数在 x0 处可导 f ( x0 ) 存在 x ? x0 x ? x0 lim f ( x ) ? A lim f ( x ) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ? x 函数在 x0 处可微 ? y ? f ?( x0 )? x ? o( ? x ) 3 选择与填空 cos x f ( x ) ? x sin x e 在 ( ??, ??)内是 ( D ) . (A) 有界函数 (C) 周期函数 (B) 单调函数 (D) 偶函数 设 f ( x ) 为二阶可导的奇函数,则 奇 函数 . f ??[ f ( x )] 为 ____ ∵f (x) 是奇函数, ? f ?( x )为偶函数, f ??( x )为奇函数, f ??[ f ( ? x )] ? f ??[ ? f ( x )] ? ? f ??[ f ( x )] f ?[ f ( x )] 显然是偶函数。 4 下列命题不成立的是( D ). A . 可导的奇函数的导函数是偶函数; B . 可导的偶函数的导函数是奇函数; C . 连续的奇函数的原函数是偶函数; D . 连续的偶函数的原函数是奇函数。 ? f ( x )dx ? F ( x ) ? C . 奇 偶 偶 奇 ? 5 当 x ? ? 时,下列函数中,是无界函数 但不是无穷大量的是 ( D ) . 1 x e arctan x x ? 1) ; ( B ) ; ( A) ; ( C ) x ( e 4 2 x 1? x 3 ( D ) x cos x . 下列命题正确的是 ( D ) . (A) 无界变量就是无穷大量; (B) 无穷大量是无穷小量的倒数; (C) f (x) 在点 x0 不可导,必在 x0 处不连续; (D) f (x) 在 [a, b] 连续, 必在 [a, b] 有界。 6 设 f (x) 在 [ a, b] 连续,在 ( a, b) 可导, a ? x1 ? x2 ? b, 下列结论不成立的是 ( C ). A. f (b) ? f (a ) ? f ?(? ) (b ? a ), ? ? (a , b) B. f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )( x2 ? x1 ), ? ? (a , b) C . f (b) ? f (a ) ? f ?(? ) (b ? a ), ? ? ( x1 , x2 ) D. f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )( x2 ? x1 ), ? ? ( x1 , x2 ) A、D 显然成立, B . ? ? ( x1 , x2 ) ? (a , b) C . ? ? (a, b) ? ( x1 , x2 ) 7 ? 1 ? cos x , ? 设 f ( x) ? ? x ? ? 1? x ? 1? x , 则 f (x ) 在 x = 0 处 ( C ) . x?0 x?0 , (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 2 = 0 ? f ( 0 ? 0) ? f ( 0) x? 0 x 1? x ? 1? x f ?? (0) ? 0, f??( 0) ? lim ? 1 . x? 0? x f (0 ? 0) ? lim? 8 x 2 ? x? sin 1 , x ? 0 ? 设 f ( x) ? ? , x ? 0, x?0 ? ? 0; 若 f (x) 在 x = 0 处连续, 则 α _______ ? 1。 若 f (x) 在 x = 0 处可微, 则 α _______ 1 要使 lim x sin ? 0 ? f ( 0) , x? 0 x ? x sin 1 ?0 x 要使 lim 存在, x? 0 x ? ? ? 0? ? ? 1? 9 设 f (x) 在 x0 处可导,且 h 1 lim ? , 则 f ?( x0 ) ? ( B ) . h? 0 f ( x ? 2h) ? f ( x ) 4 0 0 ( A) 2 ; (C ) 4 ; ( B) ? 2 ; ( D) ? 4 . 1 原式 ? lim h? 0 -2 f ( x ? 2h) ? f ( x ) 0 0 -2 h 1 1 1 4 ? ? , ? f ?( x0 ) ? ? 2 f ?( x0 ) 4 ?2 10 设 f (x) 在 x = x0 处可微, 且 f ( x0 ) ? 0, 1 ?1 f ?( x0 ) ? 1 , 则 lim h f ( x0 ? ) ? _________ . h? ? h 1 “? ? 0” f ( x0 ? ) ? f 0 ( x ) 0 1 h lim h f ( x0 ? ) ? — lim h? ? 1 h? ? h — h ? ? f ?( x0 ) ? ? 1 . 11 设 f (x) 在 x = 0 的某邻域内二阶可导, f ( x) f ??(0) ? 2, lim ? 0, 试求 f (0), f ?(0), x ?0 x 1 f ( x) x 及 lim ( 1 ? ) . x ?0 x f ( x) x?0) 解: ? lim ? 0, ? lim f ( x ) ? 0 (? lim x ?0 x ?0 x ?0 x ? f ( x ) 在 x ? 0 处可导 ? f ( x ) 在 x ? 0 处连续, ? lim f ( x ) ? f (0) = 0 ; x



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